این نوشتار توصیف پروژه "هندسه جبری محاسباتی برای حل مساله کاشیکاری" میباشد. کاشیکاری و تقارنهای استفاده شده در آن در ساختمانها و مساجد قدیمی و تاریخی ایران از تنوع چشم نواز و اهمیت ویژه ای در هنرایرانی-اسلامی برخوردار است. به عنوان یکی از کاربردهای علمی این موضوع میتوان به مباحث فیزیکی مانند بلور شناسی و ماده چگال اشاره کرد. از نقطه نظر علمی مساله کاشیکاری پوشاندن یک صفحه (نه لزوما مستطیل) با موزاییکهای غیر هم شکل است. این مساله یکی از مسایل جذاب ترکیبیاتی در ریاضیات محسوب میشود که در زمینه هندسه ترکیبیاتی نیز مطرح است و به عنوان یک مساله سخت (از نظر محاسباتی) شناخته میشود. اگر چه ماهیت مساله کاشیکاری ترکیبیاتی است ولی از ابزارهای متفاوتی چون احتمال و ترکیبیات تصادفی میتوان در حل آن استفاده کرد. هدف اصلی این پروژه توسعه روش‌های هندسه جبری محاسباتی (پایه گربنر) برای حل این مساله است. رشد و توسعه قابل توجه در زمینه جبر محاسباتی (از جمله در نرم افزارهایی نظیرمیپل)، ما را بر آن داشت که پروژه‌ای با همکاری یکی از اساتید معروف فرانسه (پروفسور بودینی) معرفی کنیم. لازم به ذکر است که ایشان اولین کار در این زمینه را در سال 2004 در قالب مقاله ای ارائه کردند که مورد توجه بسیاری از متخصصین این رشته قرار گرفت. در این مقاله با استفاده از محاسبه پایه گربنر با ضرایب روی اعداد صحیح شرایطی ارائه شد که می توان به مساله پوشش پذیری پاسخ داد.
با توجه به این که پایه گربنر با ضرایب صحیح ابزار محاسباتی این پروژه است ابتدا متمرکز بر بهبود این محاسبه خواهیم شد. برای این منظور از تکنیکهای جدید محاسبه پایه گربنر استفاده خواهیم کرد. به عنوان مثال می توان به الگوریتمهای شماره 4 و 5 فوژر اشاره کرد. البته الگوریتم های مذکور برای محاسبه پایه گربنر با ضرایب روی یک میدان ارائه شده اند. در حالی که مورد نظر ما محاسبه پایه گربنر با ضرایب صحیح است و روشها به طور کامل متفاوت خواهد بود. اجرای الگوریتم بهبود یافته در نرم افزار میپل یکی دیگر از اهداف این بخش می باشد. سوالی که در عمل (در زمینه بلور شناسی) مطرح است این است که همیشه نمی توان یک صفحه را به طور کامل توسط موزاییک های داده شده پوشاند. بنابراین سوال اصلی در این زمینه این است که چطور می توان یک صفحه را به شکل حداکثری با موزاییک های داده شده پوشاند. برای این منظور مدل چند جمله ای جدیدی بر اساس مدل ارائه شده توسط پروفسور بودینی را بیان خواهیم کرد که با استفاده از آن بتوان به سوال مورد نظر پاسخ جبری داد. آخرین موضوع مورد بررسی توصیف الگوریتمی است که با استفاده از آن بتوان با کمترین تعداد موزاییک ممکن یک پوشش را انجام داد.