ترکیب روش المان محدود مرزی مقیاسشده و توابع پایه متعادلشده برای حل مسائل دوبعدی انتقال حرارت و الاستیسیته
پاییز 99 - پاییز 1401
روش اجزا محدود مرزی مقیاسشده، با ارائه روابط در دستگاه مختصات حاوی مختصه شعاعی و پیرامونی و تنها گسستهسازی مرز مسئله بر پایه توسعه حل نیمهتحلیلی، چالشهای وابستگی به المانبندی مناسب ناحیه حل و نیاز به حلهای اساسی معادله، چنانکه به ترتیب در روشهای اجزا محدود و اجزا مرزی معمول است، را ندارد. بر این اساس تواناییها و خصوصیات روش اجزا محدود مرزی مقیاسشده با خواص جالب روش توابع پایه متعادلشده در تحلیل معادلات مشتقات جزئی دارای ضرایب غیرثابت متاثر از محیط ناهمگن، ترکیب گشته و حاصل آن روش اجزا محدود مرزی مقیاسشده با قابلیت حل معادلات مشتقات جزئی در محیط ناهمگن است. در این پژوهش پس از مقیاسکردن مرز توسط روش اجزا محدود مرزی مقیاسشده و استخراج معادلات مربوط به آن، از روش توابع پایه متعادلشده برای تقریب تابع حل تحلیلی در امتداد شعاعی استفاده میشود؛ به این صورت که پس از تخمین بخش شعاعی تابع حل مسئله توسط توابع پایه از نوع چندجملهایهای چبیشف نوع اول، عملگر معادله بر آن اعمال میشود. با توجه به این که به طور دقیق نمیتوان معادله را ارضا نمود، با تشکیل انتگرال باقیمانده وزنی اپراتور معادله، ارضای تقریبی آن تحقق مییابد. در نهایت اقدام به برآورد ضرایب مجهول مجموعه پاسخ مسئله، که پیشتر با درجات آزادی مرز مسئله مرتبط شدهاند میشود. جهت نمایانسازی ویژگیهای روش پیشنهادی، روابط برای مسائل دارای معادلات با ضرایب ثابت و غیرثابت بسط داده شده است. این رویکرد علاوه بر قابلیت حل مسائل در محیطهای همگن و ناهمگن، از دقت و همگرایی مطلوبی نیز برخوردار است.
Scaled boundary finite element method coupled with equilibrated basis functions for 2D heat transfer and elasticity problems
Fall 2020 - Fall 2022
So far, many researches have been done about solving problems by numerical methods and different methods have been proposed. Each of these methods has its advantages and disadvantages, but their common point is the need for some kind of discretization in the form of elements, boundary nodes, series sentences or similar things. The scaled boundary finite element method, which has recently attracted the attention of many researchers, discretizes only the boundary by using the technique of scaling the response of the element surface to its boundary. In this research, heat transfer and elasticity problems in two-dimensional space are solved with a new approach based on combining the scaled boundary finite element method and equilibrated basis functions method. The scaled boundary finite element method by presenting relations in the coordinate system containing radial and circumferential coordinates and only discretizing the boundary of the problem based on the development of a semi-analytical solution, the challenges of depending on the appropriate elementization of the solution area and the need for basic solutions of the equation as is usual in finite element and boundary element methods, respectively. Based on this, the capabilities and features of the scaled boundary finite element method were combined with the interesting properties of the equilibrated basis functions method in the analysis of partial differential equations with non-constant coefficients due to the non-homogeneous environment, and the result was the scaled boundary finite element method. In this research, after scaling the boundary by the scaled boundary finite element method and extracting the related equations, the equilibrated basis functions method is used to approximate the analytical solution function along the radial direction; in this way, after estimating the radial part of the problem solving function by basis functions of the first type of Chebi-Shef polynomials, the operator of the equation is applied to it. Due to the fact that the equation cannot be satisfied exactly, by forming the weighted residual integral of the equation operator, its approximate satisfaction is realized. Finally, the unknown coefficients of the problem answer set, which were previously associated with the degrees of freedom of the problem boundary, are estimated. In order to show the features of the proposed method, relations for problems with equations with constant and non-constant coefficients have been developed. In addition to the ability to solve problems in homogeneous and non-homogeneous environments, this approach also has good accuracy and convergence.
